压轴原题· 海淀区校级期中 · 2026 春
在平面直角坐标系 xOy 中，对图形 G 与点 P：过 P 作直线 ℓ₁⊥x 轴、ℓ₂⊥y 轴。若 G 上存在两个不重合的点 M、N，使 M 到 ℓ₁ 的距离 = N 到 ℓ₂ 的距离，就称 G 是点 P 的"关联图形"。(1) 已知 A(3,2)、B(2,0)、C(m,0)：① 当 m=−1 时，判断线段 BC 是否是 A 的关联图形；② 若 BC 是 A 的关联图形，求 m 的取值范围。(2) 已知 M(−5,3)、N(−2,5)、E(n,0)、F(n,n)，若在线段 MN 上存在点 P，使线段 EF 是 P 的关联图形，求 n 的取值范围。
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第一步：把"关联图形"翻译成距离等式
- 1过 P(x_P, y_P) 作 ℓ₁: x = x_P（竖直）、ℓ₂: y = y_P（水平）
- 2对 G 上任意点 X(x,y)：到 ℓ₁ 的距离 = |x − x_P|，到 ℓ₂ 的距离 = |y − y_P|
- 3"关联图形"要求 G 内存在两个不重合的点 M、N，使 |x_M − x_P| = |y_N − y_P|
👨🏫 老师
等价几何理解：使"水平距离 = 竖直距离"的点都在过 P 的 45° 角平分线上。所以核心是"角平分线与图形 G 相交"。公式
dist(M, ℓ₁) = |x_M − x_P|
dist(N, ℓ₂) = |y_N − y_P|
✅ 核心规则：G 是 P 的关联图形 ⇔ 存在 v≥0，使 G 上有横距 v 的点，且也有纵距 v 的点（且二者可取不同点）。