压轴原题· 海淀区校级期中 · 2025 春
阅读材料：关于 x、y 的二元一次方程 ax+by=c 有一组整数解 {x=x₀, y=y₀}，则全部整数解可表示为 {x=x₀−b·t, y=y₀+a·t}（t 为整数）。小明用此法求 7x+19y=213 的全部正整数解：取 {x₀=6, y₀=9}，得 {x=6−19t, y=9+7t}；由 6−19t>0、9+7t>0 解得 −9/7<t<6/19，故 t=0 或 −1，正整数解为 {x=6,y=9} 与 {x=25,y=2}。请仿照小明的方法：(1) 方程 5x−3y=1 的全部整数解 {x=2+3t, y=θ+5t}（t 为整数），求 θ。(2) 求 3x+4y=48 的全部正整数解。(3) 方程 5x+19y=2025 的正整数解有几组？
阅读题目 · 第 0 步
第一步：读懂"全部整数解公式"
- 1若 {x₀, y₀} 是 ax+by=c 的一组整数解，则全部整数解为 {x=x₀−b·t, y=y₀+a·t}（t∈ℤ）
- 2"正整数解"= 在所有整数解里再加 x>0、y>0 的约束，解 t 的整数范围即可
👨🏫 老师
三步法：① 找一组特解 (x₀,y₀)；② 套通解公式；③ 由 x>0、y>0 列不等式组解 t 的整数取值。公式
x = x₀ − b·t
y = y₀ + a·t
t ∈ ℤ
✅ 核心规则：特解 → 通解 → 用不等式筛 t。