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第 28 题北京 · 八年级下学期期末 · 第 28 题（压轴）
在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1。
对于 ⊙O 的弦 AB 和点 C，给出如下定义：若在 ⊙O 上或其内部存在一点 C′，使得四边形 CAC′B 是菱形，且 AB 是该菱形的对角线，则称点 C 是弦 AB 的“伴随点”。
已知条件
- ◆⊙O：圆心在原点 O，半径 r = 1
- ◆菱形 CAC′B 的两条对角线为 AB 与 CC′
- ◆关键限制：C′ 必须在 ⊙O 上或其内部（点 C 本身没有这个限制）
（1） 如图，点 A(0,1)，B(1,0)。
① 在点 C₁(2,0)，C₂(1,1)，C₃(−½,−½) 中，弦 AB 的“伴随点”是点 ______；
② 若点 D 是弦 AB 的“伴随点”，且 ∠ADB = 120°，则 OD 长为 ______。
（2） 已知 P 是直线 y = x 上一点，且存在 ⊙O 的弦 MN = √2，使得点 P 是弦 MN 的“伴随点”。记点 P 的横坐标为 t，当 t > 0 时，直接写出 t 的取值范围。
这是一道“几何新定义”压轴题。新定义题最怕的不是难，而是读漏一个字。
先不算，先做三件事：① 圈出已知；② 圈出目标；③ 圈出那些看起来不起眼、其实决定成败的小字。
老师
拿到这道题，我们先不急着动笔。题目一共给了几个对象？⊙O、弦 AB、点 C、还有一个躲在定义里的 C′。谁是主角，谁是配角？
学生
感觉 C 是主角，C′ 只是用来判断 C 合不合格的……那我是不是只要盯着 C 就行了？
⚠
常见卡点 / 易错点
恰恰相反：约束条件是加在 C′ 身上的（C′ 在 ⊙O 上或内部），C 本身可以跑到圆外。很多同学一上来就默认“伴随点在圆内”，这道题就直接崩了。
本步小结
读题结论：C 的位置由 C′ 的限制“反向决定”。这是全题的总开关。