第 28 题石景山区 2024–2025 学年第二学期 初二期末数学 · 第 28 题（压轴）
题干
在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(−1, 1)，B(−1, −1)，C(1, −1)，D(1, 1)。
新定义
对于线段 PQ 与 x 轴上的点 T，给出如下定义：将线段 PQ 绕点 T 旋转 180° 得到线段 P′Q′（P′，Q′ 分别是 P，Q 的对应点），若线段 P′Q′ 的两个端点都在四边形 ABCD 的边上，则称线段 PQ 是四边形 ABCD 的以点 T 为中心的“关联线段”。
设问
- （1）如图，点 E(−3, 1)，F(−3, −1)，G(−3, 2)，H(−2, 0)。在线段 EF，AG，FH 中，四边形 ABCD 的以点 T 为中心的“关联线段”是 ______。
- （2）点 M(−4, 1)。若线段 MN 是四边形 ABCD 的以点 T 为中心的“关联线段”，则点 N 的横坐标的最小值为 ______。
- （3）点 P(m, 1)。若直线 y = mx − 4 上存在点 Q，使得线段 PQ 是四边形 ABCD 的以点 T 为中心的“关联线段”，直接写出 m 的取值范围。
条件清单（圈出来的关键信息）
- 四边形 ABCD 是以原点为中心、边长为 2 的正方形，四条边分别在 x = ± 1、y = ± 1 上。
- 旋转中心 T 必须落在 x 轴上（这是全题最硬的限制）。
- 旋转角固定为 180°，即中心对称。
- 判定要求：P′、Q′ 两个端点都要落在正方形的边上（边上，不是内部）。
动态图示
阅读题目
原题阅读：先看清题目长什么样
这是一道“新定义”压轴题。新定义题不考你背了多少公式，考你能不能把一句中文准确翻译成数学动作。
先把定义拆成三个动作：① 取一个在 x 轴上的点 T；② 把线段 PQ 绕 T 转 180°；③ 检查转过去的两个端点是不是都落在正方形 ABCD 的边上。
老师
别急着算。先问自己三件事：谁在动？绕谁转？转完要满足什么条件？把这三件事说清楚，这道题就已经赢了一半。
学生
旋转 180°……好像就是中心对称？那 T 应该是 P 和 P′ 的中点吧。
本步小结
关键翻译：绕 T 旋转 180° = 关于点 T 中心对称，即 T 是 PP′ 的中点，也是 QQ′ 的中点。