八年级压轴 · “反射原距”动态解析
互动式图解 · 逐步推导 · 完整计算过程
题目来源北京市顺义区 2025—2026 学年八年级上学期期末数学试卷 · 第 29 题（压轴）
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题目来源
北京市顺义区 2025—2026 学年八年级上学期期末数学试卷 · 第 29 题（压轴）
原题展示
已知数轴上的点 A，B 表示的数分别为 −1，2，直线 l 垂直数轴于点 M，设点 M 表示的数为 m。以线段 AB 为一边作等腰直角 △ABC。
对于 △ABC 和直线 l 给出如下定义：若 △ABC 关于直线 l 对称的图形上的点到原点 O 的距离的最大值为 p，则称 p 为 △ABC 关于直线 l 的“反射原距”。
已知条件
- · A 表示 −1，B 表示 2，所以 AB = 3
- · 直线 l ⊥ 数轴于 M，M 表示的数为 m（l 是竖直直线 x = m）
- · △ABC 是以 AB 为一边的等腰直角三角形（直角顶点可能是 C、A 或 B）
- · p = 对称图形上所有点到原点 O 距离的最大值
（1）如图，∠C = 90°，m = −2，依题意画直线 l 和 △ABC 关于直线 l 的对称图形，并直接写出“反射原距” p 的值；
（2）若 ∠A = 90°，△ABC 关于直线 l 的“反射原距”为 5，直接写出 m 的值；
（3）若存在 △ABC，使得 △ABC 关于直线 l 的“反射原距”满足 4 ≤ p ≤ 5，直接写出 m 的取值范围。
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先别急着算。这道题是“新定义”题：它自己造了一个名词——反射原距 p。凡是新定义题，第一件事永远是把定义翻译成你会算的东西。
翻译一下：把三角形沿竖直直线 l 翻过去，看新图形上哪个点离原点 O 最远，那个最远距离就是 p。
老师拿到这道题，我们先不急着算。题目给了哪些条件？哪个词最容易被忽略？——我押“以 AB 为一边”和“最大值”。
学生好像就是轴对称加数轴距离？但“最远的点”到底怎么找，我有点慌。
本步小结这道题 = 轴对称作图 + 数轴上的距离（绝对值） + 勾股定理 + 分类讨论。