北京市西城区 2024—2025 学年八年级下学期数学期末试卷 · 第 26 题（压轴）
第 26 题 · 正方形的「美好点」
新定义
在平面直角坐标系 xOy 中，对于对角线交点为原点 O 的正方形和它边上任意一点 P，给出如下定义：
记点 P 所在边的中点为 M，线段 OM 的长度为 m（m > 0）。将线段 OP 沿射线 OM 的方向平移 m 个单位长度得到线段 MQ，以点 M 为顶角顶点，分别作顶角都为 150° 的等腰三角形 MQE 和等腰三角形 MQF，连接 EF。
若线段 EF 上的点都在该正方形的内部或边上，则称点 P 为该正方形的「美好点」。
已知条件
正方形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(−2, 2)，B(−2, −2)，C(2, −2)，D(2, 2)。
由此可得：边长 AB = BC = CD = DA = 4，每条边的中点到原点的距离 m = OM = 2。
设问
（1）如图1，点 P 在边 AD 上，
① 在点 P₁(−1.5, 2)，P₂(0, 2) 中，点 ______ 是正方形 ABCD 的「美好点」；
② 若点 E，F 的横坐标满足 x_E < x_F，当 ∠AME = 30° 时，点 P 的坐标为 ______；
（2）若直线 y = kx 上存在正方形 ABCD 的「美好点」，则 k 的取值范围是 ______；
（3）如图2，与正方形 ABCD 大小相同的正方形 A′B′C′D′ 的顶点在坐标轴上。若直线 y = x + b 上既存在正方形 ABCD 的「美好点」，又存在正方形 A′B′C′D′ 的「美好点」，请直接写出 b 的取值范围。
参考答案（先别看，做完再对）
点击展开三问答案
- （1）① P₂；② P(2√3⁄3, 2)
- （2）k ≤ −√3 或 −√3⁄3 ≤ k ≤ √3⁄3 或 k ≥ √3
- （3）−2√6⁄3 ≤ b ≤ 2√3⁄3 − 2 或 2 − 2√3⁄3 ≤ b ≤ 2√6⁄3 或 b = ±2√2