题目来源北京市朝阳区九年级综合练习（二）· 数学试卷 · 2025 年 5 月 · 第 28 题（全卷压轴题，7 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，对于 ⊙Q 和 ⊙Q 外一点 P，给出如下定义：若 ⊙Q 的一条弦 MN 绕点 P 旋转 α 得到的线段仍然是 ⊙Q 的一条弦，则称点 P 是 ⊙Q 的“α–旋称点”，此时的 MN 是 ⊙Q 关于点 P 的一条“α–旋称弦”。
（1）如图 1，⊙O 的半径为 2。
① 在点 P₁(−1, 2)，P₂(1, 3)，P₃(√3, √3)，P₄(2, −2) 中，⊙O 的“90°–旋称点”可以是 ______；
② 弦 AB 的长为 2，AB ∥ y 轴。若 AB 是 ⊙O 关于点 C 的“90°–旋称弦”，直接写出点 C 的坐标；
（2）如图 2，A(−2, 0)，B(2, 0)，C(2, 2√3)。若点 A，B，C 都是 ⊙Q 的“60°–旋称点”，且 △ABC 的边上存在 ⊙Q 关于点 A，B，C 的“60°–旋称弦”，直接写出点 Q 的坐标，和 ⊙Q 的半径 r 的取值范围。
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先把题目读完整
题目给了一个全新的名字：“α–旋称点”。新定义题不可怕，可怕的是没读懂就开始算。定义里其实只有一句核心话：把 ⊙Q 的一条弦 MN 绕圆外一点 P 旋转 α，转完之后它仍然是 ⊙Q 的一条弦。注意“仍然是 ⊙Q 的弦”——不是别的圆，就是原来那个圆。
老师
拿到这道题，我们先不急着算。你告诉我：题目一共给了几个对象？哪个是可以动的，哪个是钉死的？
学生
有一个圆 ⊙Q，一条弦 MN，还有圆外一个点 P。圆是不动的，弦 MN 好像可以随便挑，P 是我们要判断的点。
重点公式（点 ① ② ③ 可定格动图）
定义：MN 是 ⊙Q 的弦，MN 绕 P 旋转 α 后的像 M₁N₁ 仍是 ⊙Q 的弦
则称 P 为 ⊙Q 的“α–旋称点”，MN 为关于 P 的“α–旋称弦”
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常见卡点 / 易错点
定义里写明“⊙Q 外一点 P”，所以 PQ > r 是天然的前提条件，很多同学最后忘了这一条，把答案区间取大了。
本步小结
本题两问都只围绕一件事：什么样的 P 才配当“α–旋称点”。先把这个判据推出来，后面全是套用。