**手拉手模型**：**有公共顶点**的两个**等腰三角形**，且**顶角相等**。顶点相连的四条边可以形象地看做两双手 —— 这就是"手拉手"名称的由来。

**结论**：$△$**头左左** $\cong$ $△$**头右右**（顶点是"头"，两侧对应边分别取"左左 / 右右"）。

**证明思路**：$\angle$ 头左左 $=$ 顶角 $+$ 公共角 $=$ $\angle$ 头右右；再由两条腰相等（两个等腰） **SAS** ⇒ 全等。**用法**：题目一旦出现"共顶点 + 顶角相等 + 两条腰"，立刻找**旋转全等**的两条对应边（往往就是要求的两条线段），差距、和、垂直关系一步到位。

如图 1 是实验室中的一种摆动装置，$BC$ 在地面上，支架 $△ABC$ 是底边为 $BC$ 的**等腰直角三角形**，摆动臂 $AD$ 可绕点 $A$ 旋转，摆动臂 $DM$ 可绕点 $D$ 旋转，$AD=30$、$DM=10$。若摆动臂 $AD$ 顺时针旋转 $90°$，点 $D$ 由 $△ABC$ 外的 $D_1$ 转到其内的 $D_2$，连 $D_1{D}_2$（如图 2），此时 $\angle A{D}_{2}C=135°$、$C{D}_2=60$，则 $B{D}_2=$ ______。

如图，$△ACD$ 与 $△BCE$ 均为等腰三角形，$CA=CD$、$CB=CE$、$\angle ACD=\angle BCE=\alpha$，$BD$ 与 $AE$ 交于 $F$。（1）求证 $AE=BD$；（2）求 $\angle BFE$ 和 $\angle AFC$ 的度数。

（1）如图 1，$△ACB$ 与 $△DCE$ 都是等腰直角三角形，$\angle ACB=\angle DCE=90°$，$A$、$D$、$E$ 共线，$CM\perp AE$ 于 $M$，连 $BD$。① 线段 $AE$ 与 $BD$ 的大小关系 ______、$\angle ADB=$______；② 求证 $AD=2CM+BD$。

（2）等腰直角 $△ABC$ 中 $\angle ACB=90°$，过 $A$ 作直线，在直线上取点 $D$ 使 $\angle ADC=45°$。如图 2、图 3，连 $BD$；已知 $BD=1$、$AC=\sqrt{2}$，求点 $C$ 到该直线的距离。

**（1）** 如图，$Rt△ABC$ 中 $AB=AC$、$\angle BAC=90°$，$D$ 为 $BC$ 边上一点，将 $△ABD$ 绕 $A$ 逆时针旋转 $90°$ 至 $△ACF$，作 $AE$ 平分 $\angle DAF$ 交 $BC$ 于 $E$，易证 $B{D}^2+C{E}^2=D{E}^2$。若 $DE=\sqrt{2}BD$，则以 $BD$、$DE$、$EC$ 为边的三角形形状是______。

**（2）** 四边形 $ABCD$ 中 $\angle BAD=\angle BCD=90°$、$AB=AD$，若四边形面积为 $32$、$CD=\sqrt{2}$，求 $BC$。

**（3）** $△ABC$ 是以 $BC$ 为底的等腰直角三角形，$D$ 是平面内一点，$AD=4$、$BD=6$、$CD=2$，画草图并求 $\angle ADC$。