**① 内弦图**：正方形 $ABCD$ 内四条互相垂直的线 $BF\perp CG\perp DH\perp AE\perp BF$，则 $△ABE\cong △BCF\cong △CDG\cong △DAH$。核心：**共边互余** ⇒ $\angle ABE=\angle BCF$，再配合正方形边 $AB=BC$。

**② 外弦图**：正方形 $ABCD$ 边上四点 $M,N,P,Q$ 构成正方形 $MNPQ$，则 $△QBM\cong △MCN\cong △NDP\cong △PAQ$。核心：$\angle B=\angle QMN=90°$ ⇒ $\angle BQM=\angle NMC$ + $QM=MN$。

**③ 拓展 · 斜直角**：$Rt△QBM$ 与 $Rt△BLK$ 中 $QB=BL$、$QM\perp BK$，则 $△QBM\cong △BLK$。

**辅助线思路**：（1）出现**斜正方形/斜直角** ⇒ 补外弦图；（2）出现**共边互余角** ⇒ 补内弦图。

将两个全等的直角三角形按下图所示摆放，其中 $\angle DAB=90°$。求证：$a^2+b^2=c^2$。

四边形 $ABCD$ 是边长为 $4$ 的正方形，点 $E$ 在边 $AD$ 所在直线上，连 $CE$，以 $CE$ 为边作正方形 $CEFG$（$D$、$F$ 在直线 $CE$ 同侧），连 $BF$。当 $E$ 在线段 $AD$ 上、$AE=1$ 时，求 $BF$ 的长。

直角梯形 $ABCD$ 中 $AD\parallel BC$，$\angle ADC=90°$，$l$ 是 $AD$ 的垂直平分线交 $AD$ 于 $M$；以腰 $AB$ 为边作正方形 $ABFE$，作 $EP\perp l$ 于 $P$。求证：$2EP+AD=2CD$。

直角梯形 $ABCD$ 中 $AD\parallel BC$、$AB\perp BC$、$AD=2$、$BC=3$，$\angle BCD=\alpha$；以 $D$ 为旋转中心将腰 $DC$ 逆时针旋转 $90°$ 至 $DE$，连 $AE$、$CE$。

（1）$\alpha =45°$ 时 $S_{△EAD}=?$　（2）$\alpha =30°$ 时 $S_{△EAD}=?$　（3）$0°<\alpha <90°$ 时 $S_{△EAD}$ 与 $\alpha$ 是否有关？

阅读材料：边长为 $a(a>2)$ 的正方形 $ABCD$ 各边分别截取 $AE=BF=CG=DH=1$，当 $\angle AFQ=\angle BGM=\angle CHN=\angle DEP=45°$ 时，求正方形 $MNPQ$ 的面积。

延长 $QE,MF,NG,PH$ 交 $FA,GB,HC,ED$ 延长线于 $R,S,T,W$，得 $△RQF、△SMG、△TNH、△WPE$ 为四个全等的等腰直角三角形（见下图）。

**① 新正方形的边长** = ______　**② $S_{正方形MNPQ}$ = ？**

**③ 类比迁移**：等边 $△ABC$ 各边截取 $AD=BE=CF$，过 $D,E,F$ 分别作 $BC,CA,AB$ 的垂线，得等边 $△RPQ$。若 $S_{△RPQ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则 $AD=?$