第 01 讲 · 倍长中线和类中线 · 几何辅助线通关秘籍

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参考上海中考节奏：150 分 100 分钟 · 本讲 5 例题

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模块一 · 与中点有关的辅助线

【知识要点】

1. 已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：

（1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形.

（2）三角形中位线定理.

2. 遇到直角三角形，考虑斜边中线.

3. 遇到等腰三角形，考虑三线合一.

1.1 倍长中线或类中线

模型一 · 倍长中线

【已知】 $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线.

【辅助线】延长 $A D$ 至 $E$ ，使得 $D E = A D$ ，连接 $C E$ .

【结论】 $△ A B D ≅ △ E C D$ ，且 $A B = / / C E$ .

模型二 · 倍长类中线

【已知】在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $B C$ 的中点.

【辅助线】延长 $E D$ 至 $F$ ，使得 $D F = D E$ ，连接 $C F$ .

【结论】 $△ B D E ≅ △ C D F$ ，且 $B E = / / C F$ .

模型三 · 平行线 + 所截线段的中点

【已知】 $A B ∥ C D$ ， $E$ 是 $B C$ 中点.

【方法】延长 $A E$ 与 $C D$ 交于点 $F$ .

【结论】① $△ C E F ≅ △ B E A$ （AAS 或 ASA）；② $A B = F C$ .

例 1

🥉 青铜级别

如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $A C = 5$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，则 $A D$ 的取值范围是（　　）

A． $3 < A D < 13$
B． $1.5 < A D < 6.5$
C． $2.5 < A D < 7.5$
D． $10 < A D < 16$

例 2

🥉 青铜级别

在平行四边形 $A B C F$ 中， $B C = 2 A B$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $A F$ 的中点，若 $∠ A D E = 5 0^{\circ}$ ，则 $∠ B$ 的度数是（　　）

A． $5 0^{\circ}$
B． $6 0^{\circ}$
C． $7 0^{\circ}$
D． $8 0^{\circ}$

例 3

🥉 青铜级别

如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B D$ ， $A D$ 上，且 $D E = C D$ ， $E F = A C$ . 求证： $E F ∥ A B$ .（请尝试用两种方法证明）

例 4

💎 钻石级别

已知 $△ A B C$ 中， $B D = C D$ ， $∠ M D N = 9 0^{\circ}$ ， $B M^{2} + C N^{2} = D M^{2} + D N^{2}$ ，求证：

A D^{2} = \frac{A B ^{2} + A C ^{2}}{4}

例 5

👑 王者级别

在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A D = D E$ ， $A C = B C$ ， $∠ B A C = ∠ A B C$ ， $∠ D A E = ∠ D E A$ ， $∠ A C B = ∠ A D E = 9 0^{\circ}$ ，点 $M$ 是 $B E$ 的中点，连接 $C M$ ， $D M$ .

（1）如图 1，当点 $D$ 在 $A B$ 上，点 $E$ 在 $A C$ 上时，求证： $D M = C M$ ， $D M ⊥ C M$ .

（2）如图 2，当点 $D$ 在 $C A$ 延长线上时，（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）.

（3）如图 3，当 $E D ∥ A B$ 时，上述结论仍然成立，请加以证明.

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