第 02 讲 · 构造中位线 · 几何辅助线通关秘籍

⏱ 推荐用时29:00/ 29 分钟

参考上海中考节奏：150 分 100 分钟 · 本讲 4 例题

☆ 点击每道例题框右上角的「错题本」按钮即可收藏查看错题本 →

1.2 构造中位线 · 知识要点

当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；

当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线。

套路一 · 取另一边的中点

已知三角形一边上的中点，取另一边的中点，连接得中位线。

套路二 · 倍长一边

已知三角形的中线，通过倍长三角形的一边，构造更大的三角形，使原来的中线变为新三角形的中位线。

例 1 · 中位线 + 等腰三角形

🥉 青铜级别解答题

如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，延长 $A B$ 至点 $E$ ，使 $∠ A E C = ∠ D A B$ 。判断 $C E$ 与 $A D$ 的数量关系，并证明你的结论。

例 2 · 角平分线 + 中点求线段

🥉 青铜级别填空题

如图， $△ A B C$ 边长分别为 $A B = 14$ ， $B C = 16$ ， $A C = 26$ ， $P$ 为 $∠ A$ 的平分线 $A D$ 上一点，且 $B P ⊥ A D$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，则 $P M$ 的值为 ______。

例 3 · 正方形动点 · 一题多解

💎 钻石级别压轴题

在正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是射线 $C B$ 上一个动点，连接 $P A$ 、 $P D$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别为 $B C$ 、 $A P$ 的中点，连接 $M N$ 交 $P D$ 于点 $Q$ 。

（1）如图 1，当点 $P$ 与点 $B$ 重合时， $△ QP M$ 的形状是 ______。

（2）当点 $P$ 在线段 $C B$ 的延长线上时（图 2），① 依题意补全图 2；② 判断 $△ QP M$ 的形状，并加以证明。

例 4 · 三小题递进 · 中点 + 垂线 + 全等

👑 王者级别压轴题

（1）如图

已知 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $A B$ 边的中点， $A E ⊥ B C$ ， $B F ⊥ A C$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ， $A E$ 、 $B F$ 交于点 $M$ ，连接 $D E$ 、 $D F$ 。若 $D E = k \cdot D F$ ，则 $k$ 的值为 ______。

（2）如图

已知： $△ A B C$ 中， $C B = C A$ ，点 $D$ 是 $A B$ 边的中点，点 $M$ 在 $△ A B C$ 内部，且 $∠ M A C = ∠ M B C$ 。过点 $M$ 分别作 $M E ⊥ B C$ ， $M F ⊥ A C$ ，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ，连接 $D E$ 、 $D F$ 。求证： $D E = D F$ 。

（3）

如图，若将 (2) 中的条件" $C B = C A$ "变为" $C B \neq = C A$ "，其他条件不变。试探究 $D E$ 与 $D F$ 之间的数量关系，并证明你的结论。

← 第 01 讲 · 倍长中线和类中线第 03 讲 · 构造直角三角形斜边中线 →