**核心思路**：当结论形如 "**长边 = 短边 + 短边**" 或 "**长边 − 短边 = 另一短边**" 时，就在**长边上"截长"**、或在**短边上"补短"**，把两条短边"搬"到一起，利用**角平分线 / 轴对称**构造两对全等三角形。

**截长**：① 过某点作长边的垂线；② 在长边上截取一段与某条短边相等，再证剩下的线段与另一短边相等。

**补短**：① 延长短边使之等于长边；② 通过旋转 / 翻折等方式把两条短边"拼"到一起。

**识别口诀**：出现"角平分线"+"三条线段的和差关系"，就先考虑**截长补短**。图中两条短边通常在角平分线**两侧**，构造时用 SAS 全等把它们对称过去。

已知 $△ABC$ 中，$AB=AC$，$\angle A=108°$，$BD$ 平分 $\angle ABC$。求证：$BC=AC+CD$。

如图，在 $△ABC$ 中，$AB=AC$，$\angle A=100°$，$BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线，延长 $BD$ 至点 $E$，使 $DE=AD$。试求 $\angle ECA$ 的度数。

如图，在 $△ABC$ 中，$AD$ 是 $\angle BAC$ 的外角平分线，$P$ 是 $AD$ 上异于点 $A$ 的任意一点。试比较 $PB+PC$ 与 $AB+AC$ 的大小，并说明理由。

已知：在 $△ABC$ 中，$\angle ABC<60°$，$CD$ 平分 $\angle ACB$ 交 $AB$ 于点 $D$，点 $E$ 在线段 $CD$ 上（不与 $C,D$ 重合），且 $\angle EAC=2\angle EBC$。

（1）如图 1，若 $\angle EBC=27°$，且 $EB=EC$，则 $\angle DEB=$ ____$°$，$\angle AEC=$ ____$°$。

（2）如图 2：① 求证：$AE+AC=BC$；② 若 $\angle ECB=30°$，且 $AC=BE$，求 $\angle EBC$ 的度数。

在 $△ABC$ 中，$\angle BAC$ 为锐角，$AB>AC$，$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$。

（1）如图 1，若 $△ABC$ 是等腰直角三角形，判断线段 $AC$、$CD$、$AB$ 之间的数量关系并说明理由。

（2）$BC$ 的垂直平分线交 $AD$ 的延长线于点 $E$，交 $BC$ 于点 $F$，连接 $CE$、$BE$。① 如图 2，若 $\angle ABE=60°$，判断 $AC$、$CE$、$AB$ 之间的数量关系并加以证明；② 如图 3，若 $AC+AB=\sqrt{3}AE$，求 $\angle BAC$ 的度数。

如图，在四边形 $ABDE$ 中，$C$ 是 $BD$ 边的中点。

（1）**建立模型**：如图 1，若 $AC$ 平分 $\angle BAE$，$\angle ACE=90°$。试探索 $AE$ 与 $AB+DE$ 之间的数量关系。小明提示：在 $AE$ 上截取 $AF=AB$，可证 $△ABC\cong △AFC$，进一步可证 $△DCE\cong △FCE$。答：$AE$ 与 $AB+DE$ 之间的数量关系为 ____。

（2）**延伸探究**：如图 2，若 $AC$ 平分 $\angle BAE$，$EC$ 平分 $\angle AED$，$\angle ACE=120°$。求证：$AB+DE+\frac{1}{2}BD=AE$。

（3）**拓展应用**：如图 3，若 $AC$ 平分 $\angle BAE$，$EC$ 平分 $\angle AED$，$BD=8$，$AB=2$，$DE=8$，且 $\angle ACE=135°$，则线段 $AE$ 的长度是 ____（直接写答案）。