**核心思路**：动点在直线 / 坐标轴上滑动，图中往往同时出现 **等腰** / **垂直** / **角平分线** 三种要素。这类问题的通用切入口是：

① **找不变的等腰或对称**——由 $OA=OB$、$AB=AC$ 之类的定长条件，锁定一对**全等三角形**；

② **过角平分线上任一点作两边的垂线**——两垂线段相等（角平分线性质），或反过来"到角两边距离相等的点在角平分线上"；

③ **截长补短**——当结论形如 $AD=OC+CD$、$DC=DA+DB$，就在长边上截取或在短边上延长，构造等边 / 全等，让三条线段"拼"在一起。

**识别口诀**：动点+定长等腰 → 先做全等；结论涉及三条线段和差 → 截长补短；两线段乘 2 或除 2 → 角平分线双分。

在平面直角坐标系中，$A(-5,0)$、$B(0,5)$，点 $C$ 为 $x$ 轴正半轴上一动点，过点 $A$ 作 $AD\perp BC$ 交 $y$ 轴于点 $E$。

（1）如图 ①，若 $C(3,0)$，求点 $E$ 的坐标；

（2）如图 ②，若 $OC<5$，其它条件不变，连接 $DO$。求证：$OD$ 平分 $\angle ADC$；

（3）若 $\angle OCB=2\angle DAO$ 时，试探索线段 $AD$、$OC$、$DC$ 的数量关系并证明。

已知直线 $AB\parallel CD$，$\angle A=\angle C=100°$，$E$、$F$ 在 $CD$ 上，且 $\angle DBF=\angle ABD$，$BE$ 平分 $\angle CBF$。

（1）求 $\angle DBE$ 的度数；

（2）若平行移动 $AD$，$\angle BFC:\angle BDC$ 的比值是否随之变化？若不变，求出这个值；

（3）在平行移动 $AD$ 的过程中，是否存在某种情况使 $\angle BEC=\angle ADB$？若存在，求出 $\angle BEC$ 的度数。

如图，直线 $MN$ 与直线 $PQ$ 垂直相交于点 $O$，点 $A$ 在 $PQ$ 上运动，点 $B$ 在 $MN$ 上运动。

（1）如图 1，$AE$、$BE$ 分别是 $\angle BAO$ 和 $\angle ABO$ 的角平分线。$\angle AEB$ 的大小是否变化？若不变求出。

（2）如图 2，$AB$ 不平行 $CD$，$AD$、$BC$ 分别是 $\angle BAP$ 和 $\angle ABM$ 的角平分线，$AD$、$BC$ 的延长线交于点 $F$，$\angle ADC$ 的平分线 $DE$ 和 $\angle BCD$ 的平分线 $CE$ 交于点 $E$。

① $\angle F$ 的大小是否变化？② $\angle CED$ 的大小是否变化？

已知 $B(-1,0)$，$C(1,0)$，$A$ 为 $y$ 轴正半轴上一点，$AB=AC$。点 $D$ 为第二象限一动点，$E$ 在 $BD$ 的延长线上，$CD$ 交 $AB$ 于 $F$，且 $\angle BDC=\angle BAC$。

（1）求证：$\angle ABD=\angle ACD$；

（2）求证：$AD$ 平分 $\angle CDE$；

（3）若在 $D$ 点运动过程中，始终有 $DC=DA+DB$，$\angle BAC$ 的度数是否变化？如不变求出。

（1）三角板 $PMN$（$PM=PN$）的直角顶点 $P$ 放在 $y$ 轴上，$P(0,1)$、$M(3,0)$，求点 $N$ 的坐标。

（2）$OQ$ 是第一象限 $\angle xOy$ 的平分线，将三角板的直角顶点 $P$ 在射线 $OQ$ 上**滑动**，两直角边分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于 $D$、$C$。猜想 $PC$ 与 $PD$ 的数量关系并证明。

（3）$OQ$ 是 $\angle xOy$ 的平分线，将三角板直角顶点 $P$ 在射线 $OQ$ 上**转动**（图 3），两直角边的**延长线**分别与 $x$、$y$ 轴交于 $D$、$C$。直接写出 $NC$ 与 $MD$ 的数量关系。