等腰三角形是初中几何最"友好"的图形之一——一旦标出 $AB=AC$，就有以下 **四条辅助线** 立即可用：

**① 利用"三线合一"性质**：过顶点 $A$ 作 $AD\perp BC$ 于 $D$，则同时得到 $BD=CD$、$\angle BAD=\angle CAD$。

**② 作腰上的高**：过 $B$ 作 $BD\perp AC$，用来算面积 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BD$，或制造 $Rt△$ 与相似。

**③ 作腰上的中线**：过 $B$ 作 $AC$ 边上的中线 $BD$，得 $AD=CD$、$S_{△ABD}=S_{△BCD}$，常用于**面积二等分**。

**④ 倍长一腰，构造直角三角形**：延长 $BA$ 到 $D$，使 $AD=AB=AC$，则 $A$ 是斜边 $BD$ 的中点、$\angle BCD=90°$（三点共圆 / 中线等半径）。

**口诀**：顶角有对称 → 三线合一；求面积 → 作腰高；面积平分 → 腰上中线；结论含直角 → 倍长一腰。

在 $△ABC$ 中，$\angle ACB=90°$，$\angle A=30°$，$AB$ 的垂直平分线分别交 $AB$ 和 $AC$ 于点 $D$、$E$。

（1）求证：$AE=2CE$；

（2）连接 $CD$，请判断 $△BCD$ 的形状，并说明理由。

如图，$△ABC$ 中 $AD\perp BC$ 于 $D$，$\angle B=2\angle C$。求证：$AB+BD=CD$。

如图，在 $△ABC$ 中，$\angle ACB=2\angle B$，$BC=2AC$。求证：$\angle A=90°$。

如图，在等腰 $△ABC$ 的底边 $BC$ 上任取一点 $D$，过 $D$ 作 $DE\perp AB$ 于 $E$、$DF\perp AC$ 于 $F$，过 $B$ 作腰 $AC$ 边上的高 $BG$。求证：$DE+DF=BG$。

点 $C$ 为线段 $AB$ 上一点，以 $AC$ 为斜边作等腰 $Rt△ADC$，连 $BD$；在 $△ABD$ 外侧以 $BD$ 为斜边作等腰 $Rt△BED$，连 $EC$。

（1）如图 ①，当 $\angle DBA=30°$ 时：① 求证 $AC=BD$；② 判断 $EC$ 与 $EB$ 的数量关系并证明。

（2）如图 ②，当 $0°<\angle DBA<45°$ 时，$EC$ 与 $EB$ 的数量关系是否保持不变？如不变请证明 $EC=EB$。