第 04 讲 · 构造等腰三角形的三线合一

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参考上海中考节奏：150 分 100 分钟 · 本讲 5 例题

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等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高**相互重合**（简称"三线合一"）。

如图，在等腰 $△ A B C$ 中（ $A B = A C$ ），取底边 $B C$ 的中点 $D$ ，连接 $A D$ ，则：

① $A D ⊥ B C$ ；② $∠ B A D = ∠ C A D$ ；③ 出现两个全等的直角三角形。

**辅助线思路**：题目中出现等腰三角形（或可构造出等腰三角形）时，若已知底边中点、顶角平分线、底边上的高之一，就可以补出另外两条，得到直角或线段相等关系。

🥉 青铜级别证明题

在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90°$ ， $A B = 2 B C$ ，求证： $∠ B A C = 30°$ 。

🥉 青铜级别求值题

如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $O E ⊥ A C$ 交 $A D$ 于点 $E$ 。若 $A E = 4$ ， $D E = 2$ ， $A B = 25$ ，求 $A C$ 的长。

🥉 青铜级别证明题

$D$ 是等腰 $△ A B C$ 底边 $B C$ 上的一点（ $A B = A C$ ），求证： $A D^{2} = A B^{2} - B D \cdot D C$ 。

（斯特瓦尔特定理推论）

💎 钻石级别竞赛试题

如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B A C = 90°$ ， $A B = A C$ ， $D$ 为 $A C$ 中点， $A E ⊥ B D$ 于 $E$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 于 $F$ 。求证： $∠ A D B = ∠ C D F$ 。

（安徽省竞赛试题）

👑 王者级别王者级 · 压轴题

在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90°$ ， $A C > B C$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点， $E$ 为直线 $A C$ 上一动点，连接 $D E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ D E$ ，交直线 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ 。

（1）如图 1，当点 $E$ 是线段 $A C$ 的中点时， $A E = 2$ ， $B F = 1$ ，求 $E F$ 的长；

（2）当点 $E$ 在线段 $C A$ 的延长线上时，依题意补全图形 2，用等式表示 $A E$ 、 $E F$ 、 $B F$ 之间的数量关系，并证明。