第 06 讲 · 向角两边作垂线 · 几何辅助线通关秘籍

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参考上海中考节奏：150 分 100 分钟 · 本讲 5 例题

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2.1 向角两边作垂线 · 知识要点

利用角平分线作垂线构造 **AAS** 或 **ASA** 型全等。

**结论**：① 以角平分线为界，两边三角形全等；② 全等三角形对应边相等，对应角相等。

**辅助线思路**：题目中出现角平分线时，从角平分线上任取一点，分别向角的两边作垂线，得到两条相等的垂线段（角平分线性质），进而构造 AAS/ASA/HL 型全等。

例 1 · 梯形对角平分线相交

🥉 青铜级别选择题

如图，已知四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A P$ 平分 $∠ D A B$ ， $B P$ 平分 $∠ A B C$ ，它们的交点 $P$ 在线段 $C D$ 上。下面的结论：① $A P ⊥ B P$ ；② 点 $P$ 到直线 $A D$ 、 $B C$ 的距离相等；③ $P D = P C$ 。其中正确的结论有 ____。

A. ①②③　　B. ①②　　C. ①　　D. ②

例 2 · 内外角平分线夹角

🥉 青铜级别填空题

如图， $△ A B C$ 的外角 $∠ A C D$ 的平分线 $C P$ 与内角 $∠ A B C$ 的平分线 $B P$ 交于点 $P$ ，若 $∠ B P C = 50°$ ，则 $∠ C A P =$ ____。

例 3 · 角平分线 + 邻补角关系

🥉 青铜级别求值题

如图， $A C$ 平分 $∠ D A B$ ， $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $∠ B + ∠ D = 180°$ ， $A D = 4$ ， $A E = 6$ ，则 $A B =$ ____。

例 4 · 等腰直角三角形四结论

💎 钻石级别多结论选择题

如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90°$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $E$ ， $B D ⊥ A E$ 于 $D$ ， $D M ⊥ A C$ 交 $A C$ 的延长线于 $M$ ，连接 $C D$ 。下列结论：① $A C + C E = A B$ ；② $B D = \frac{1}{2} A E$ ；③ $∠ C D A = 45°$ ；④ $\frac{A C + A B}{A M}$ 为定值。其中正确的结论有 ____ 个。

例 5 · 两个共直角顶点等腰直角三角形 · 三小问综合

👑 王者级别王者级 · 压轴题

如图 1， $A C = B C$ ， $C D = C E$ ， $∠ A C B = ∠ D C E = 90°$ ，连接 $A E$ 、 $B D$ 交于点 $F$ 。

（1）求证： $△ C A E ≅ △ C B D$ ； $∠ C F B = 45°$ 。

（2）若四边形 $A B E D$ 的面积为 $18$ ，求 $B D$ 。

（3）如图 2，在（2）的条件下，当 $∠ C A E = ∠ A B D$ 时， $△ A B G$ 面积为 $4$ ，求 $E F$ 。